Three Cute Cherries

วันจันทร์ที่ 2 ธันวาคม พ.ศ. 2556

เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)


นิยาม

           เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกของริงใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น
\begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & -3 & -4 \end{bmatrix}
           เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนเในเมทริกซ์ว่า สมาชิก ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 1
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5
            เราเรียกเมทริกซ์ที่มี m แถว และ n หลัก เรียกว่า เมทริกซ์  m \times n  เราเรียกจำนวน m และ n
ว่า มิติ หรือ ขนาด ของเมทริกซ์
เราใช้สัญญลักษณ์ A = (a_{i,j})_{m \times n} เพื่อหมายถึง เมทริกซ์ A ซึ่งมี m แถว และ n หลัก โดยที่ ai,j (หรือ aij) หมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง แถว i และ หลัก j ของเมทริกซ์
A=A_{m \times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & \cdots & a_{mn}\\ \end{bmatrix}


การบวกและคูณเมทริกซ์ 

การบวก

          ให้ A = (a_{i,j})_{m \times n} และ B = (b_{i,j})_{m \times n} เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสองเมทริกซ์ เราสามารถนิยาม ผลรวมหรือ ผลบวก A + B ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด m \times n ที่คำนวณโดยการบวกสมาชิกที่มีตำแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก C = (c_{i,j})_{m \times n} = A+B  แล้ว ci,j = ai,j + bi,j ยกตัวอย่างเช่น
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}
การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือการบวกตรง
 การคูณด้วยสเกลาร์
        กำหนดเมทริกซ์ A = (a_{i,j})_{m \times n} และจำนวน c เราสามารถนิยาม ผลคูณสเกลาร์ cA ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด m \times n ที่คำนวณโดยการนำ c ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ A กล่าวคือ หาก B = (b_{i,j})_{m \times n} = cA แล้ว bi,j = cai,j ยกตัวอย่างเช่น
2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}
            จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์ขนาด m \times n ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติ mn ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชนิดหนึ่ง
การคูณ
         ถ้า A = (a_{i,j})_{m \times n} และ B = (b_{i,j})_{n \times p} เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จำนวนหลักของ A เท่ากับจำนวนแถวของB แล้ว เราสามารถนิยาม ผลคูณ AB ว่าเป็นเมทริกซ์ C = (c_{i,j})_{m \times p} โดยที่
c_{i,j} = a_{i,1} b_{1,j} + a_{i,2} b_{2,i} + \cdots + a_{i,n} b_{n,i} = \sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,j}
          กล่าวคือสมาชิกในแถว i หลัก j ของผลคูณ AB คำนวณได้จากการนำสมาชิกของหลัก i ของ A และสมาชิกของคอลัมน์ B ในตำแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนำผลคูณทั้ง n ผลคูณนั้นมาบวกกัน
          ปฏิบัติการนี้อาจทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเราให้ a_i = (a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots, a_{i,n})  เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว i ของ A และให้ b_j = (b_{1,j}, b_{2,j}, \ldots, b_{n,j}) เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก j ของ B แล้ว เราจะได้ว่า c_{i,j} = a_i \cdot b_j เมื่อ a_i \cdot b_j คือผลคูณจุดของ ai และ bj เช่น
ให้  A = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \end{bmatrix}  และ  B = \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} \\ b_{2,1} & b_{2,2} \\ b_{3,2} & b_{3,2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 \\ \end{bmatrix}
           แล้ว  A \times B = \begin{bmatrix} a_1 \cdot b_1 & a_1 \cdot b_2 \\ a_2 \cdot b_1 & a_2 \cdot b_2 \\ \end{bmatrix}
                   และ
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}
การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้
  • สมบัติการเปลี่ยนหมู่: (AB)C = A(BC) สำหรับเมทริกซ์ A ขนาด k \times m, B ขนาด m \times n, และ C ขนาด n \times p ใดๆ ("สมบัติการเปลี่ยนหมู่")
  • สมบัติการแจกแจงทางขวา: (A + B)C = AC + BC สำหรับเมทริกซ์ A และ B ขนาด m \times n และ C ขนาด n \times p ใดๆ
  • สมบัติการแจกแจงทางซ้าย: C(A + B) = CA + CB สำหรับเมทริกซ์ A และ B ขนาด m \times n และ C ขนาด k \times m ใดๆ
         คำเตือน: การคูณเมทริกซ์นั้นไม่เหมือนกับการคูณจำนวนโดยทั่วไป เนื่องจากมันไม่มีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ สำหรับเมทริกซ์ Aขนาด m \times n และ B ขนาด n \times p ใดๆ
  • ถ้า m \neq p แล้ว ผลคูณ BA ไม่มีนิยาม
  • แม้ m = p แต่ถ้า m \neq n แล้ว AB เป็นเมทริกซ์ขนาด m \times m ส่วน BA เป็นเมทริกซ์ขนาด n \times n ผลคูณทั้งสองจึงมีค่าไม่เท่ากันอย่างเห็นได้ชัด
  • แม้ m = n = p แต่ส่วนมากแล้ว AB มักจะมีค่าไม่เท่ากับ BA ยกตัวอย่างเช่น
\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4\\ 10 & 12 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 3 & 8\\ 5 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}
เขียนโดย ที่

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น

สมัครสมาชิก: ส่งความคิดเห็น (Atom)